Topology
Motivation of considering the topology.
: To classify geometric objects.
중학수학 - "합동"(유클리드 기하학에서 도형의 같고 다름을 분류).
(1) Cardinality(집합 원소의 갯수) 동일 (?)
(2) 변의 길이 동일
(3) 각의 크기 동일
(2), (3)은 SSS, SAS, ASA
이 기준하에서는 위 도형들을 분류하기 같고 다름이 선명하고 명확하지만
단점은 분류를 하기에는 너무 많음
같고 다름의 기준을 의미있게 주는게 현대수학에서 Topology.
- "닮음" : (1), (3)은 필요. (2)' 각 대응하는 변의 크기의 비. (SSS, SAS, ASA)
같다라는 기준이 완화되면 위에 도형들은 같음
그러나 여전히 이 닮음이라는 규정도 여전히 기준이 강함.
"덩어리(고무, 찰흙)"
자르지 않고, 늘리거나 구부려서 같은 형상을 만들수만 있다면 동일한 대상으로 간주한다.
수학적 공리로 정의
$\{ E_{\alpha} \subset X | \alpha \in I \}$
$E_{\alpha}$ : "덩어리" $\equiv$ open set.
- 덩어리들을 아무리 많이 뭉쳐도 덩어리이다.
Let $E_{\alpha}$ be lumped element for each $\alpha \in I$.
Then $\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha}$ should be the lumped element.(want)
- 덩어리들의 겹치는 부분은 유한개가 겹쳐지는 부분까지만 덩어리로서 보장한다.
If $E_1 , \cdots , E_n$ are lumped elements, then $\bigcap_{k=1}^n E_k $ is the lumped element.
Def (Topology).
Given a set $X ( \ne \emptyset )$($\Rightarrow \mathcal{P}(X) = \{ A \subset X \}$ the power set)
We say $\tau \in \mathcal{P}(X)$ is a topology on $X$. ($X$에 주어진 덩어리의 모임)
(1) $\emptyset , X \in \tau$
(2) "If" $\{ E_{\alpha} \}_{\alpha \in I} \subset \tau$, [i.e., $\forall \alpha \in I, E_{\alpha} \in \tau$] then $\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha} \in \tau$.
(3) "If" $E_1 , \cdots, E_n \in \tau$, then $\bigcap_{k=1}^n E_k \in \tau$.
We will call the element of $\tau$ the open set.
Remark.
단순 일대일 대응 뿐만아니라 근방을 근방으로 대응시키는 함수
We will call $f$ (which maps the open set in $T$ to the open set in $C$) the continous function
두 위상공간간의 함수를 연속함수라 부름
Remark.
덩어리는 규정하기 나름이다.
example(cofinite topology)
$X$ : set.
Define $\tau_C : = \{ A \subset X \mid A^C \ \text{is a finite set} \} \cup \{ \emptyset \} $.
claim : $\tau_C$ is a topology on $X$.
1) $X \in^? \tau_c \iff X \subset X, X^C = \emptyset$ : finitie
2) Let $\{ E_{\alpha} \mid \alpha \in I \} \subset \tau_C$.
Then $\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha} \in^? \tau_C \Leftrightarrow \bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha} \subset X$ and $\left( \bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha} \right)^C$ is finite.
$\left( \bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha \in I} E_{\alpha}^C \subset E_{\alpha_0}^C$ : finite. (드모르간법칙)
3) Let $E_1 , \cdots, E_n \in \tau$. [i.e., $E_1^C, \cdots, E_n^C$ : finite]
$\bigcap_{k=1}^{n} E_k \in^? \tau \iff \left( \bigcap_{k=1}^{n} E_k \right)^C$ is finite.
$ \left( \bigcap_{k=1}^{n} E_k \right)^C = \bigcup_{k=1}^{n} E_k^C$ is finite. (유한개의 교집합은 유한개)
Remark.
If a set $X$ is equipped with a toplogy $\tau$,
we will call $(X, \tau)$ the topological space (위상공간).
Shortly, $X$ : topological space.
We call $\tau$ the topology (위상) on $X$.
Examples.
(1) $(X, \mathcal{P}(X) = \tau)$ // $X$의 모든 부분집합이 open set이 되는 위상공간
called the discrete topological space.
(2) $(X, \tau)$, $\tau = \{ \emptyset , X \}$ // $X$가 가질 수 있는 위상중에 가장 작은 위상을 가진 위상공간
called the indiscrete topological space.
Topology 정의의 (2), (3)번은 If기 때문에 가능
Define.
$X$ set, $\tau, \tau'$ topologies on $X$.
We say $\tau'$ is finer(larger) than $\tau$ if $\tau \subset \tau'$.
We say $\tau'$ is coarser(smaller) than $\tau$ if $\tau \supset \tau'$.
Remark.
In classical analysis, we use the metric topology (거리위상).
Metric Topology
Define.
Given a set $X$,
$d : X \times X \longrightarrow \mathbb{R}$ is a distance function if
$d$ satisfies (1)~(3):
(1) $\forall x, y \in X, \ d(x, y) \geq 0$ and $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
(2) $d(x, y) = d(y, x)$, $\forall x, y \in X$.
(3) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$, $\forall x, y, z \in X$. (삼각부등식)
ex) $X=\mathbb{R}$, $d(x,y)=|x-y|$.
ex) $X=\mathbb{R}^n$, $x,y \in \mathbb{R}^n$
$d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^2}$
Define.
Given $(X, d)$, $d$ is distance function on $X$.
(1) Given $\epsilon > 0$, $P \in X$, (X에 Point를 고정)
$N_{\epsilon}(P) := \{x \in X \mid d(x, P) < \epsilon\}$ called the $\epsilon$-neighborhood of $P$.
(2) We say that $U$ is open in $X$
if $\forall P \in U, \ \exists \epsilon_P > 0 \ \text{s.t.} \ N_{\epsilon_P}(P) \subset U$.
Exercise.
Show that given $(X,d)$,
$\tau_d := \{ U \subseteq X \mid \forall P \in U, \ \exists \epsilon_P > 0 \ \text{s.t.} \ N_{\epsilon_P}(P) \subset U \}$
is a topology on $X$.
: called the metric topology.
Remark.
Recall that for a sequence $\{ a_n \} _{n=1}^{\infty}$ in $\mathbb{R}$ which converges to $\alpha \in \mathbb{R}$, i.e., $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$.
$\iff \forall \epsilon > 0, \ \exists N = N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall n \geq N(\epsilon), \ |a_n - \alpha| < \epsilon = d(a_n, \alpha) < \epsilon$
$\iff \forall \epsilon > 0, \ \exists N = N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall n \geq N(\epsilon), \ a_n \in N_{\epsilon}(\alpha)$
(with $d(x,y)=|x-y|$)
Define.
Continity of function $f : E(\subset \mathbb{R} ) \longrightarrow \mathbb{R}$
We say $f : E(\subset \mathbb{R} ) \longrightarrow \mathbb{R}$ is continous at $P \in E$
$\text{if}\ \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 \ \text{s.t.} \ \text{if} \ |x - P| < \delta, \ \text{then} \ |f(x) - f(P)| < \epsilon$.
$\iff \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 \ \text{s.t.} \ \text{if} \ x \in N_{\delta}(P), \ \text{then} \ f(x) \in N_{\epsilon}(f(P))$.
해석학개론에서 정의한 것은 특정 distance function을 이용한 topological 정의.
해석학개론 실수영역에서 관찰한것이 topological space에서의 특수한 예시를 본것.
Define.
Give a topological space $(X, \tau)$,
(1) A sequence $f : \mathbb{N} \to X$ is a function from $\mathbb{N}$ to $X$.
$n \mapsto f(n) = a_n$
topological space에서 수열은 아래를 만족하면됨.
$(a_n)_{n=1}^{\infty} \subseteq X$(해석학에서는 $\mathbb{R}$)
(2) Let $\alpha \in X$, $ (a_n)_{n=1}^{\infty} \subset X$ be a seq in $X$.
We say $ (a_n)_{n=1}^{\infty}$ converges to $\alpha$
기존의 $\epsilon$으로 정의는 open set으로 정의하는것에 지나지않음.
$\text{If } \forall \text{ open set } V \text{ contatining } \alpha, \exists N = N(V) \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall n \geq N= N(V), a_n \in V$.
In this case, denote $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$.
Remark.
Open set $V$ containing $\alpha$
$\equiv V$ is the nbhd(neighborhood) of $\alpha$.
(3) In $(\mathbb{R}, \tau_d )$, $d(x,y) = |x-y|$.
$(a_n) \xrightarrow{n \to \infty} \alpha \ \text{means} \ \forall \text{ nbhd } V \text{ of } \alpha, \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall n \geq N, \ a_n \in V$,
$\iff \forall N_{\epsilon}(\alpha), \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall n \geq N, \ a_n \in N_{\epsilon}(\alpha)$
$\iff \forall \epsilon > 0, \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ \forall n \geq N, \ |a_n - \alpha| < \epsilon$.
Exercise.
In $(\mathbb{R}, \tau_d )$, $d(x,y) = |x-y|$,
let $ a_n \xrightarrow{n \to \infty} \alpha$, $ b_n \xrightarrow{n \to \infty} \beta$, $(a_n),(b_n) \subset \mathbb{R}$, $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$.
(1) $a_n + b_n \to \alpha + \beta$
(2) $a_n - b_n \to \alpha - \beta$
(3) $k a_n \to k \alpha, \ \forall k \in \mathbb{R}$
(4) $a_n b_n \to \alpha \beta$
(5) $\frac{a_n}{b_n} \to \frac{\alpha}{\beta}, \ \text{provided} \ b_n,\ \beta \neq 0 \ \text{for any } n \in \mathbb{N}$.
Remark.
수열의 수렴성은 위상공간에 어떤 위상을 선택하는지에 따라 달라진다.
ex) $X= \mathbb{N}$, $\tau = \tau_C = \{ U \subset \mathbb{N} \mid U^C \ \text{is finite} \} \cup \{ \emptyset \}$
Define $a_n := n$, $\forall n \in \mathbb{N}$.
claim : $a_n$ converges to every points in $\mathbb{N}$.
Take any $m \in \mathbb{N}$.
Take any nbhd $V$ of $m$. (i.e., open set contatining $m$)
Take $N = \max V^C + 1$
Then $\forall n \ge N$, $n \notin V^C$ i.e., $n \in V$. (증명완료)
이런일이 생긴 이유는 open set이 이상하게 생겨서. (이런 topology는 쓰지않긴함)
Remark.
위와 같은 상황을 피하기 위하여 $(X, \tau)$가 만족해야 하는 추가적인 "공리"를 가정해야 한다.
Later, this axiom is called the Hausdorff axiom (or T2-axiom) which guarantees that the uniqueness of the limit point. (metric topology는 만족함)
