Introduction
이번에 선형대수를 공부하면서 내용을 정리해보았습니다.
강의 영상 : https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/
Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
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참고한 블로그 :
Lecture 19: Determinant formulas and cofactors
Lecture 19: Determinant formulas and cofactors (6/12) - 좋아. 행렬식에 대한 2번째 강의시간이고, 3...
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[Linear Algebra] Lecture 19 행렬식(Determinant)의 계산 방법과 여인수(Cofactor)
이번 포스팅에서는 지난 Lecture 18에 이어 determinant에 대한 포스팅을 하려고한다. 지난 시간에는 determinant에 대한 10가지 특성을 배웠다면, 이번 시간에는 determinant의 실제 계산 방법에 대해 다룰
twlab.tistory.com
(주로 https://twlab.tistory.com/41블로그의 사진과 내용을 보면서 공부했고 추가로 나머지 블로그를 참고하였습니다.)
(저는 제가 이해하기 쉽게 요약해서 적었으므로 좀더 자세히 공부하고싶다면 위 블로그를 참고하시면 됩니다.)
행렬식의 계산 방법과 공식(Derterminant Formulas)
지난 강의에서 우리는 determinant에 대한 3가지 중요한 특성을 배웠었다.
- (1) 단위행렬의 determinant는 1이다.
- (2) 행렬의 행을 다른 행과 바꿀경우(row exchange) determinant는 부호가 바뀐다.
- (3)-1 원래 행렬의 row중 딱 하나만 상수 t를 곱하면 determinant는 t를 곱한 형태로 바뀌게 된다.
- (3)-2 원래 행렬에서 row하나에 어떤 벡터를 더하면 determinant는 더한 row를 따로 분리하여 determinant를 계산할 수 있다.
이제 이 3가지 특성을 이용하여 2x2행렬의 determinant 공식을 다시 유도해보자.
$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+0 & b+0 \\ c & d \end{vmatrix}$$
위에서처럼 row1에 0을 더해도 상관없으니 더해준다. 여기서 특성 (3)-2를 적용한다.
$$ \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \end{vmatrix} $$
마찬가지로 row2에도 0을 더한후 특성 (3)-2를 적용한다.
$$ \underset{singular}{\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{vmatrix}} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix} + \underset{singular}{\begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{vmatrix}} $$
그리고 여기서 1번째와 4번째 matrix를 보면 column이 모두 0인 col이 있으므로 singular matrix로 determinant=0이다.
$$ \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix} $$
여기서 b, c가 있는 행렬에서 행교환을하고 특성 (2)를 적용한다.
$$ \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} + -1 \times \begin{vmatrix} c & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} $$
특성 (7)을 적용한다.
$$ ad -bc $$
이렇게 2x2행렬의 determinant split을 해보았다. 여기서 중요한건 determinant를 분리하는 과정을 잘보면 먼저 row1을 분리하고 그다음 row2를 분리했다. 이것을 3x3에서도 적용해보고 더 나아가서 4x4, ..., nxn의 공식도 알아보자.
먼저 3x3행렬 부터 분해를 하는데 row1 -> row2 -> row3 순서로 분해해보자.
$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} $$
row1 분해
$$ \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b & 0 \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} $$
그다음 row2 분해를 하면되는데 굳이 적진 않고 여기서 하나만 알면된다.
2x2에선 row 1개를 분해할때마다 determinant 식이 2배씩 늘어나는 걸 알 수 있었다.
3x3에선 row 1개를 분해할때마다 determinant 식이 3배씩 늘어나는 것도 충분히 유추 가능하다.
그러면 3x3에서는 총 row가 3개이므로 3x3x3=27개의 determinant 식이 나올 것이다.
그러면 4x4에서는 4x4x4x4 = 256개의 determinant 식이 나올 것이다.
따라서, nxn에서 총 분리할 수 있는 determinant 식은 $n^n$개이다.
그리고 다시 돌아가서 3x3에서 분해를 하다보면 분명히 모든 row나 column이 0이 되어 determinant가 0이되어 죽어버리는 애들이 있을 것이다. 그러면 살아남은 애들만 중요하니 한번 살아남는 것들만 봐보자.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} $$
여기서 행교환을 통해 대각선으로 원소를 뭉치면 되는데 이때, 행교환의 횟수에따라 부호가 +, -가 정해지니 주의해서 부호를 정한다.
$$ a_{11} a_{22} a_{33} \quad- \quad a_{11} a_{23} a_{32} \quad - \quad a_{12} a_{21} a_{33} \quad + \quad a_{12} a_{23} a_{31} \quad + \quad a_{13} a_{21} a_{32} \quad - \quad a_{13} a_{22} a_{31} $$
여기서 살아남은 애들 특징을 봐보자. 1번째를 보면 $a_{11}$을 기준으로 row와 column에 0밖에 없다. $a_{22}$, $a_{33}$도 모두 자기를 기준으로 row와 column이 0밖에 없다.
따라서, 27개의 determinant 중 원소를 중심으로 row와 column에 자기를 제외하면 모두 0만 있는 determinant만이 살아남게 된다. 그리고 살아남은 형태의 determinant의 형태가 치환행렬형태의 식임도 알 수 있다. 또, 살아남은 애들의 절반은 +이고 절반은 -임도 알 수 있다.
그렇다면 위에서 한 3x3의 공식 유도 방식으로 nxn에서도 이러한 느낌의 공식을 적용할 수 있을까?
정답은 아니다이고, 왜냐하면 4x4만 해도 위의 방식을 적용하면 determinant마다 서로 다른 형태의 식이 나오고 부호도 행교환 횟수가 달라져 다 달라지고 식도 엄청 길어진다.
그럼 nxn 크기의 determinant에도 적용할 수 있는 일반적인 공식을 알아보자.
Big Formula
Big formula라는 공식은 nxn에도 적용할 수 있는 determinant를 계산할 수 있는 일반적인 공식이다.
즉, 위에서 3x3에서 했던 것처럼 0이 아닌 텀들의 합으로 determinant를 계산하는 공식이다.
2x2에서는 0이 아닌 텀이 2개가 나왔고, 이는 2!(factorial)로 볼 수 있다.
3x3에서는 0이 아닌 텀이 6개가 나왔고, 이는 3!로 볼 수 있다.
4x4에서는 몇개가 나올까? 당연히 4!이 나올 것이고,
nxn에서는 n!개의 0이 아닌 텀이 나올 것이다.
앞서 3x3에서 살아남은 형태의 determinant의 형태가 치환행렬형태의 식이라고 말했었다.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$
row1의 3개의 각 원소 a11, a12, a13을 기준으로 식을 분리한다. 여기서 나는 n=3이므로 a11, a12, a13 중 한개를 선택해서 각각 쪼갠다. 따라서, n=3개를 선택할 수 있다.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0& a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{vmatrix}$$
여기서, a11을 기준으로 쪼갠 맨왼쪽 행렬만 봐보자. 이제 나는 row2에서 a22, a23 중 한개를 선택해서 각각 쪼갠다. 따라서, n-1=2개를 선택할 수 있다.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} $$
여기서는 이제 row3에서 선택을 해야하는데 어차피 1개씩만 있으므로 n-2=1개만을 선택할 수 있다.
$$ a_{11} a_{22} a_{33} \quad- \quad a_{11} a_{23} a_{32} \quad - \quad a_{12} a_{21} a_{33} \quad + \quad a_{12} a_{23} a_{31} \quad + \quad a_{13} a_{21} a_{32} \quad - \quad a_{13} a_{22} a_{31} $$
그다음 마지막은 절반은 부호가 +고, 나머지 절반은 -의 부호를 가진다.
결국, row1의 원소를 시작으로 n, n-1, n-2 이렇게 줄어들기 때문에 결국 n!만큼의 살아남는 determinant를 계산하고 더해준다. 이렇게 n!임을 알 수 있다.
이제 이것을 수식으로 쓰면 다음과 같다.
$$ det \ \ A = \sum_{n! \ \ terms} \pm a_{1 \alpha} a_{2 \beta} a_{3 \gamma} \cdots a_{n w} $$
여기서, $a_{1 \alpha}$에서 1은 row의 순서를 의미하고, alpha는 column의 순서인데, 다른 a의 column의 순서와 중복되지 않는다. 따라서, column 순서인 alpha, beta, gamma, ..., omega 까지는 순열(permutation)을 이룬다.
Example of Big Formula
이제 예시로 풀어보자.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
일단, 총 $4^4 = 256$개로 determinant를 분해할 수 있는데 그 중 살아남는 determinant는 4!=24개이다.
그리고, 위 행렬은 0을 많이 포함하고 있기 때문에 24개의 determinant중에서도 대부분이 0이되어 사라질 것이다.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & (1) \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
먼저, row1에서 하나를 고른다. a13, a14가 있는데 일단 col4인 a14을 골라보겠다. 그러면 현재 (4, , , )이다.
이러면 이제 row1, col4에서는 원소를 선택할 수 없다.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & (1) \\ 0 & 1 & (1) & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
이번에는 row2에서 고르는데 a22, a23이 있는데 col3인 a23을 골라보겠다. 그러면 현재 (4, 3, , )이다.
이러면 이제 row2, col3에서는 원소를 선택할 수 없다.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & (1) \\ 0 & 1 & (1) & 0 \\ 1 & (1) & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
이번에는 row3에서 고르는데 a31, a32가 있는데 col2인 a32을 골라보겠다. 그러면 현재 (4, 3, 2, )이다.
이러면 이제 row3, col2에서는 원소를 선택할 수 없다.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & (1) \\ 0 & 1 & (1) & 0 \\ 1 & (1) & 0 & 0 \\ (1) & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
이러면 row4에서는 반드시 col1에서만 원소를 선택해야한다. 따라서, (4, 3, 2, 1)이 된다.
(4, 3, 2, 1)이 의미하는건, 각 요소의 순서는 row index를 뜻하고 그안에있는 갑은 column index를 뜻한다.
이렇게 만들어진 (4, 3, 2, 1)은 현재 치환 행렬 형태이고 대각 행렬 형태로 만들려면 2번의 행교환을 함으로 determinant의 부호는 +가되고 각 대각선의 값들은 모두 1이므로 (4, 3, 2, 1)의 determinant는 +1이다.
$$ (4, \ 3, \ 2, \ 1) = +1 $$
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & (1) \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & (1) & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
이번에는 row1에서 col4인 a14을 고른 상태에서, row2에서는 col2인 a22을 골라보자.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & (1) & 1 & 0 \\ (1) & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
row3에서는 col2를 고를 수 없으니 무조건 col1을 골라야한다.
현재, col4, col2, col1은 고를 수 없다.
그런데 row4에서는 col1 아니면 col4에서 골라야하는데 고를 수가 없으므로
(4, 2, 1, )은 불가능하다.
이번에는 row1에서 col3인 a14를 골라보고 쭉 자세한 설명은 생략하겠다.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & (1) & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & (1) & 1 & 0 \\ (1) & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & (1) & 1 \\ 0 & (1) & 1 & 0 \\ (1) & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & (1) \end{vmatrix} $$
이렇게, (3, 2, 1, 4)가 나오게 되고 대각행렬을 만들기 위해 행교환을 1번만 하면 된다.
따라서, (3, 2, 1, 4)의 determinant는 -1이다.
이후 더 이상 살아있는 determinant는 없다.
원래는 이렇게 총 4!=24개의 determinant를 계산해야하는데 행렬 자체에 0이 많아서 거의다 사라지고 2개의 determinant만 남게 된다.
최종으로 모든 determinant를 더하면
$$ det \ \ A = +1 + (-1) = 0 $$
따라서, 예제에서의 행렬은 determinant=0이므로 특이 행렬(singular matrix)이다.
참고로 row의 선형 결합 (row1+row3) - (row2+row4) = 0 통해 0이 되므로 특이 행렬임을 알 수도 있다.
column의 경우도 특이 행렬이기 때문에 column의 선형 결합을 통해 영벡터를 만들 수 있고 결국 Null space가 존재한다.
여기서 또 알 수 있는건 행렬에서 0이 많을 수록 계산에서 장점이 많다는 것이다.
여인수(Cofactor)
여인수(cofactor)는 Big formula를 분할하는 방법으로 nxn determinant를 이보다 한단계 작은 (n-1)x(n-1)의 determinant와 연결시키는 방법이다. 이를 여인수 전개(cofactor expansion)라 한다.
이전에 determinant 분리 식을 가져와보자.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0& a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{vmatrix}$$
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} $$
$$ a_{11} a_{22} a_{33} \quad- \quad a_{11} a_{23} a_{32} \quad - \quad a_{12} a_{21} a_{33} \quad + \quad a_{12} a_{23} a_{31} \quad + \quad a_{13} a_{21} a_{32} \quad - \quad a_{13} a_{22} a_{31} $$
여기서 row1 원소로만 묶으면 다음과 같다.
$$ a_{11} ( a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} ) + a_{12} ( a_{23} a_{31} - a_{21} a_{33}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31}) $$
여기서 $ a_{11} ( a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} )$ 이부분 만 봐보자.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & (a_{22} & 0) \\ 0 & (0 & a_{33}) \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & (0 & a_{23}) \\ 0 & (a_{32} & 0) \end{vmatrix} $$
row1의 원소인 a11을 선택하면 row1 col1을 제외한 나머지 a22, a33이 있는 2x2의 행렬이 보일 것이다.
여기서 $a_{11}$을 factor라 부르고,
나머지 2x2의 모든 경우에 대한 계산인 $( a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} )$을 cofactor(여인수)라고 한다.
$ a_{11} ( a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} )$을 해석해보면 3x3의 determinant의 한 factor인 a11이 한단계 작은 2x2의 determinant와 곱해지는데 이때, 2x2의 determinant가 바로 여인수(cofactor)이다.
왜 이런식이냐면 처음에 factor 한개를 선택하면 factor가 있는 row와 column의 원소들은 사용할 수 없으므로 결국 한단계작은 (n-1)크기의 derterminant에서 선택을 해야되기 때문이다.
결국, (n-1)x(n-1)의 determinant인 cofactor는 nxn의 determinant를 계산하기 위한 각 factor와 관련된 모든 가능한 치환 행렬의 부분 조합이라고 볼 수 있다.
일반적으로 factor를 row1부터 선택하는게 계산이 편리하다.
cofactor의 일반적인 식은 다음과 같다.
$$ \begin{matrix} cofactor \ \ of \ \ a_{ij} = C_{ij} \\ \pm \ \ det \ \ \left( \begin{matrix} n-1 \ \ matrix \\ with \ \ row \ \ i, \ \ col \ \ j \ \ removed \end{matrix} \right) \\ i+j = even \rightarrow + \\ i+j = odd \rightarrow - \end{matrix} $$
factor $a_{ij}$의 cofactor $C_{ij}$는 factor $a_{ij}$의 i번째 row와 j번째 column을 제외한 나머지 n-1크기의 행렬에 대한 determinant를 의미한다.
이때, i와 j에 따라 부호가 결정되는데, i+j가 짝수이면 부호는 +이고, i+j가 홀수이면 부호는 -이다.
따라서, 이러한 cofactor를 통해 row1을 factor로 선택한 $det \ \ A$의 식은 다음과 같다.
$$ det \ \ A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \ \cdots \ + a_{1n} C_{1n} $$
cofactor의 부호와 관련된 matrix는 다음과 같다.
$$ \begin{vmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & \cdots & C_{2n} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & \cdots & C_{3n} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & \cdots & C_{4n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & C_{n3} & C_{n4} & \cdots & C_{nn} \end{vmatrix} $$
$$ \Downarrow $$
$$ \begin{vmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix} $$
한번 2x2행렬을 풀어보자.
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$
$$ a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} = ad +b (-c) $$
4x4행렬도 풀어보자.
$$ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ det \ \ A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} + a_{14} C_{14} $$
여기서, $a_{11}$과 $a_{12}$는 0이다.
$$ det \ \ A = a_{13} C_{13} + a_{14} C_{14} $$
이걸 다시 matrix형태로 보면 다음과 같다. 항상 cofactor의 부호는 조심하자.
$$ 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} $$
$$ 1 \cdot (a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} ) - 1 \cdot ( a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} ) $$
마찬가지로 원소가 factor가 0인 애들은 없애버리면 다음과 같다.
$$ (a_{12} C_{12}) - (a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13} ) $$
다시 matrix 형태로 보면 다음과 같다.
$$ \left ( 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right ) - \left( 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right) $$
이것도 cofactor로 2x2행렬은 ad-bc를 이용하는데 determinant가 아닌 cofactor니깐 부호 조심해야한다.
$$ (-1) - (0-1) = 0 $$
