Introduction
이번에 선형대수를 공부하면서 내용을 정리해보았습니다.
강의 영상 : https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/
Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
This section contains a complete set of video lectures on linear algebra along with transcripts and related resource files.
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참고한 블로그 :
Lecture 13: Quiz 1 review
Lecture 13: Quiz 1 review (5/21) - 좋아. 이번 시간은 코스 첫번째 파트에 대한 복습 강의이다. 코스의...
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(저는 제가 이해하기 쉽게 요약해서 적었으므로 좀더 자세히 공부하고싶다면 위 블로그를 참고하시면 됩니다.)
1. $ \boldsymbol{u, \ v, \ w}$가 $R^7$ 공간내의 nonzero 벡터라고 가정해보자.
(1) 이것들이 $R^7$내의 부분공간을 span하면, 가능한 차원은 무엇일까?
일단, 벡터가 3개 뿐이고, 벡터들간의 독립, 종속여부에 따라 1, 2, 3차원까지 span할 수 있다.
0차원은 될 수없는게 nonzero 벡터이기 때문이다. 만일, nonzero가 아니라면 모두 0벡터가 될 수 있고 0차원이 가능할 것이다.
2. U = 5x3행렬이고, echelon form이다. 이때, Rank=3이라 하자.
(1) Null space는 무엇인가?
Rank=3 이라는 뜻은 pivout column이 3개이다.
free column의 수는 column의수인 3에서 pivot column의 수를 빼면 3-3=0이다.
즉, free column이 없기 때문에 free variable이 없다. 이 말은 3개의 column vector가 서로 독립이며, 계수가 모두 0일 때를 제외한 어떠한 선형결합으로도 영 벡터가 되지 않는다. 따라서, Null space에 있는 유일한 해는 영 벡터가 될 것이다.
3. 위의 5x3의 U행렬을 이어서 만든 다음과 같은 10x3의 B행렬이 있다.
$$ B= \begin{bmatrix} U \\ 2U \end{bmatrix} $$
(1) B행렬의 echelon form은?
$$ echelon \ form = \begin{bmatrix} U \\ 0 \end{bmatrix} $$
(2) B행렬의 랭크는?
U행렬과 똑같이 Rank=3이다.
4. 이번에는 다음과 같은 10x6의 C행렬이 있다.
$$ C = \begin{bmatrix} U & U \\ U & 0 \end{bmatrix} $$
(1) C행렬의 echelcn form은?
$$ \begin{bmatrix} U & U \\ U & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} U & U \\ 0 & -U \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} U & 0 \\ 0 & -U \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} U & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix} $$
(2) C행렬의 랭크는?
U행렬의 랭크가 3이므로 C행렬의 Rank=6이다.
(3) C행렬의 Left Null space의 차원인 $dim \ N(C^T)$은?
C의 랭크가 6이고, Left Null space의 차원은 m-r이므로, 10-6=4. 따라서, 4차원이다.
5. 다음과 같은 방정식과 그 방정식의 완전해가 있다.
$$ Ax = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} $$
$$ x= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
(1) 행렬 A의 형태는?
일단, 완전해에서 3개의 component를 가지고 있으므로, 열이 3임을 알 수 있고, b가 마찬가지로 3개의 component를 가지므로 행이 3임을 알 수 있다.
따라서, A는 3x3 행렬이다.
(2) 행렬 A의 랭크는?
특수해가 1개가 있고 이는 pivot column이 1개라는 뜻이므로 Rank=1이 된다.
(3) 행렬 A의 Null space의 차원은?
special solution이 2개가 있고 이는 free column이 2개라는 뜻이므로 Null space의 Rank=2가 되고 차원은 2차원이 된다.
(4) 행렬 A를 구하라.
각각 특수해와 special solution을 대입하여 구할 수 있다. 따라서, 다음과 같다.
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} $$
(5) 어떤 벡터 b에 대해서도 Ax=b에서 x가 존재하기 위한 조건은?
b가 A의 column space에 존재해야한다. 왜냐하면 b는 A의 column vector들의 선형 조합을 의미하기 때문이다.
(6) b의 형태는?
A의 column space의 모든 벡터는 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$에 종속되어 있다. 이로인해 column space는 1차원임을 알 수 있다.
따라서, b는 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$의 배수 형태인, $c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$의 형태가 될 것이다.
6. 만약 B행렬이 있을 때, B행렬의 제곱이 0하고 같다면, B는 0일까?
$$ B^2 = 0 \Rightarrow B=0 ?$$
일단, $B^2$연산을 하려면 B는 반드시 정사각 행렬이어야 한다. 그래야 자기자신을 곱할 수 있다.
또한, 다음과 같은 B행렬도 제곱시 0이 된다.
$$ B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
따라서, B는 0인지 아닌지 모르므로 False이다.
7. 다음과 같이 두개의 행렬이 곱해진 형태의 B행렬이 있다고 해보자. 여기서, 일단 두 행렬을 곱하지말고 아래 상태 그대로 해석해보자.
$$ B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$
(1) Null space의 차원은?
일단은 (3x3)x(3x4) = (3x4)행렬이므로, Null space의 기저의 차원은 $R^4$에 속해있음을 알 수 있다.
이제, 각자 곱해져있는 행렬을 CD라 하자. 우리는 Null space를 구하기 위해 CDx=0을 풀어야한다.
여기서, C행렬은 정사각행렬이면서 역행렬이 존재하는 행렬이다.
여기서, 역행렬이 존재하는 행렬인 C행렬은 Null space의 차원에 기여하지 않는다는 것이다. 따라서, 다음이 성립한다.
$$ N(CD) = N(D) \quad \rm if \ C가 \ 역행렬이 존재할 때$$
$$ CDx = 0 \Rightarrow C^{-1} C Dx = C^{-1} 0 \Rightarrow I D x = 0 \Rightarrow D x = 0 $$
즉, 역행렬이 존재하면 위와 같이 Null space를 구하는 과정에서 C가 의미가 없다. 따라서, C행렬은 Null space를 만드는데 기여하지 못하므로 BX=0의 Null space와 D의 Null space가 같다.
D행렬에서 col1, col2가 pivot column이고, col3, col4 free column이다. 따라서, Null space의 차원은 2차원이자 Rank=2가 될 것이다.
(2) Null space의 기저는?
Dx=0을 풀면되므로 free variable에 각각 (1, 0), (0, 1)로 설정하고 풀면된다.
$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
$$basis \ for \ N(B) \ = \ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\1 \end{bmatrix}$$
여기서, D행렬의 $F= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$라 하면,
위의 Null space matrix의 윗부분에는 $-F = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ 형태가 있고,
아랫부분에는 단위 행렬 $ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$가 있음을 볼 수 있다.
(3) $Bx = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$를 풀어라.
행렬 B의 column이 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$이고, 이것이 b와 동일하므로 특수해(particular solution)는 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}가 될 것이다.
따라서, 완전해는 위에서 구한 특수해+Null Space가 될 것이다.
$$ x_p + x_n = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$
(4) 단지 하나의 특수해가 존재하는가?
정답은 아니다. 왜냐하면, 위에서 구한 특수해에다가 Null space에 있는 아무해나 더하면 또 다른 특수해가 된다.
특수(particular)는 단지 우리에게 하나를 사용했다는 것을 말할 뿐이다.
8. mxn 행렬이 있다고 해보자.
(1) m=n이라면, row space와 column space는 동일한가?
m=n이란 것은 정사각행렬을 의미하고 row space와 column space는 다음과 같은 예가 있기 때문에 거짓이다.
$$ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
위 행렬은 row space는 (0, 1)의 배수이지만, column space는 (1, 0)의 배수이다.
(2) 만일, 대칭행렬이라면?
그때는 row space와 column space가 동일할 것이다.
